Question

5．已知過拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線m交拋物線于點(diǎn)M、N，|MF|=2|NF|=3，則拋物線C的方程為（　�。�

• A． x²=8y
• B． x²=2y
• C． x²=4y
• D． x²=2$\sqrt{2}$y

Answer 1

分析 設(shè)直線m的方程為y=kx+$\frac{p}{2}$，聯(lián)立直線與拋物線，得x²-2pky-p²=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由此利用拋物線過焦點(diǎn)弦的弦長公式和拋物線弦長公式能求出p=2，k=±$\frac{1}{2}$，由此能求出拋物線C的方程．

解答 解：設(shè)直線m的方程為y=kx+$\frac{p}{2}$，
聯(lián)立直線與拋物線，得x²-2pky-p²=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+p=2pk²+p，
∵|MF|=2，|NF|=3，
∴|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）（4{p}^{2}{k}^{2}+4{p}^{2}）}$=5，y₁+y₂=2pk²+p=5，
解得p=2，k=±$\frac{1}{2}$，
∴拋物線C的方程為x²=4y．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查拋物線方程的求法，考查學(xué)生的計算能力，注意弦長公式的合理運(yùn)用．