已知點A、B、C的坐標(biāo)分別是（4，0）、（0，4）、（3cosα，3sinα），且α∈（
π
2
，
3π
4
）．若
AC
⊥
BC
，求
2sin2α+sin2α
1-tanα
的值．
考點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用
專題：三角函數(shù)的求值
分析：由A，B，C的坐標(biāo)表示出
AC
與
BC
，利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出關(guān)系式，求出sinα+cosα的值，兩邊平方利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sin2α的值，根據(jù)α的范圍求出α+
π
4
的范圍，進(jìn)而求出cos（α+
π
4
）的值，原式分子提取sinα，分母利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡，整理后將各自的值代入計算即可求出值．
解答： 解：∵
AC
=（3cosα-4，3sinα），
BC
=（3cosα，3sinα-4），且
AC
⊥
BC
，
∴
AC
•
BC
=0，即（3cosα-4）•3cosα+3sinα（3sinα-4）=0，
整理得：sinα+cosα=
3
4
，
兩邊平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=
9
16
，即sin2α=-
7
16
，
∵sin（α+
π
4
）=
2
2
（sinα+cosα）=
3
2
8
，α∈（
π
2
，
3π
4
），即α+
π
4
∈（
3π
4
，π），
∴cos（α+
π
4
）=-
46
8
，
則原式=
2sinα(sinα+cosα)
cosα-sinα
cosα
=
sin2α(sinα+cosα)
2
cos(α+
π
4
)
=
-
7
16
×
3
4
2
×(-
46
8
)
=
21
23
368
．
點評：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，AA1=AB=6，D為AC的中點．
（1）求證：直線AB1∥平面BC1D；
（2）求證：平面BC1D⊥平面ACC1A；
（3）求三棱錐C-BC1D的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l：kx-y+1=0，圓C：x2+y2-2x=0
（1）若直線l平行于直線x-ky+2=0，求k的值．
（2）若直線l和圓C相切，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（Ⅰ）求證：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求二面角F-DE-B的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a7=4，an+1=
3an+4
7-an
．
（1）試求a8和a6的值；
（2）對于數(shù)列{an}，是否存在自然數(shù)m，使得當(dāng)n≥m時，an＜2；當(dāng)n＜m時，an＞2，證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，多面體ABCDS中，四邊形ABCD為矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD=2，M，N分別為AB，CD中點．
（1）求異面直線SM，AN所成的角；
（2）若二面角A-SC-D大小為60°，求SD的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明恒等式：
tanαtan2α
tan2α-tanα
+
3
（sin2α-cos2α）=2sin（2α-
π
3
）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=AB=1，BC=
2
，D，E分別是AB，BB1的中點，求異面直線AC1，DE所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=（cos（x-
π
6
），0），
n
=（2，0），x∈R，函數(shù)f（x）=
m
•
n
．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）求f（π）的值；
（3）若f（α+
2π
3
）=
6
5
，α∈（-
π
2
，0），求f（2α）的值．

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