Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx，其中a為實常數(shù)．
（Ⅰ）若a=2，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）設命題p：?x∈[1，+∞），f（x）＜x²，若p為真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a=2代入，利用導數(shù)法分析函數(shù)的單調性，進而求出函數(shù)的最值，可得函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若命題p：?x∈[1，+∞），f（x）＜x²為真命題，則a＜x³-xlnx恒成立，構造函數(shù)g（x）=x³-xlnx，利用導數(shù)法，求出函數(shù)的最小值，可得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）若a=2，則f（x）=$\frac{2}{x}$+lnx，
則f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，
當x∈（0，2）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
故當x=2時，函數(shù)f（x）取最小值1+ln2，無最大值，
故函數(shù)f（x）的值域為[1+ln2，+∞），
若命題p：?x∈[1，+∞），f（x）＜x²，為真命題，
即x∈[1，+∞），f（x）＜x²恒成立，
即$\frac{a}{x}$+lnx＜x²恒成立，
即a＜x³-xlnx恒成立，
設g（x）=x³-xlnx，則g′（x）=3x²-lnx-1，
g″（x）=6x-$\frac{1}{x}$，
當x∈[1，+∞）時，g″（x）＞0恒成立，g′（x）為增函數(shù)，
即g′（x）≥g′（1）=2＞0恒成立，g（x）為增函數(shù)，
即g（x）≥g（1）=1，
則a＜1．
即a的取值范圍為（-∞，1）

點評 本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，導數(shù)法求函數(shù)的最值，恒成立問題，難度中檔．