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【題目】如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，平面平面ABCD，為等腰直角三角形，，，點E，F分別為BC，PD的中點，直線PC與平面AEF交于點Q.

（1）若平面平面，求證：.

（2）求直線AQ與平面PCD所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據線面平行的判定定理證得平面，然后根據線面平行的性質定理證得.（2）先根據四點共面，結合向量的線性運算，求得，也即求得位置.建立空間直角坐標系，利用直線的方向向量和平面的法向量，求得線面角的正弦值.

（1）證明：因為，平面PC，平面PCD，

所以平面PCD.又因為平面PAB，平面平面，所以.

（2）解：連接PE.

因為，

所以，

則

設，則.

因為A，E，Q，F四點共面，

所以，解得，則.

取AD的中點O，連接OC，OP，由題意可得OC，OD，OP兩兩垂直

如圖，建立空間直角坐標系，

設，則，，，.

所以，.

設平面PCD的一個法向量為，

則，令，得，即，

所以，

所以.

練習冊系列答案
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