Question

【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）若，判斷的單調(diào)性；

（Ⅲ）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）最大值f(e)＝；（Ⅱ）見(jiàn)解析；（III）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）求解導(dǎo)函數(shù)有f′(x)＝（x＞0），由導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得當(dāng)x＝e時(shí)，f(x)取得最大值f(e)＝．

（Ⅱ）a=1, ,令，則， ,則. 在x>0時(shí)單調(diào)遞減.

（III）令 ，原問(wèn)題等價(jià)于h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)， ，

結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論可得.

試題解析：

（Ⅰ）f′(x)＝（x＞0），

當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x＝e時(shí)，f(x)取得最大值f(e)＝．

（Ⅱ）a=1, ,令，

，當(dāng)，

當(dāng)， ,即，

.故在x>0時(shí)單調(diào)遞減.

（III） g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，

由（1）知，

由圖像可知.