Question

12．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若c²=（a-b）²+6，△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，則C=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 先化簡(jiǎn)c²=（a-b）²+6得c²=a²+b²-2ab+6，由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，兩式結(jié)合得abcosC=ab-3，由題意和三角形的面積公式列出方程，由平方關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)求出ab、cosC的值，由C的范圍和特殊角的余弦值求出C．

解答 解：由題意得，c²=（a-b）²+6，
則c²=a²+b²-2ab+6，
由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
代入上式可得，abcosC=ab-3，①
因?yàn)椤鰽BC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
所以$\frac{1}{2}absinC=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，則absinC=3$\sqrt{3}$，②
①²+②²得，（ab）²=（ab-3）²+27，
化簡(jiǎn)得，ab=6，代入①得cosC=$\frac{1}{2}$，
由0＜C＜π得C=$\frac{π}{3}$，
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理，平方關(guān)系，三角形的面積公式，以及化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．