Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若在上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

(2)若，求證： 有唯一零點的充要條件是.

Answer 1

【答案】（1）；(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）討論兩種情況，當(dāng) 時，不是單調(diào)函數(shù)，當(dāng)時，由， 在為單調(diào)遞增函數(shù)，從而可得結(jié)果；(2) 當(dāng)時，研究函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)有唯一零點，若函數(shù)有唯一零點，用反證法可證明只有合題意.

試題解析：（1）

當(dāng)a>0時，由得

當(dāng)時， ， 為單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時， ， 為單調(diào)減函數(shù)，

所以在上不為單調(diào)函數(shù)

當(dāng)時，由， 在為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以實數(shù)得取值范圍是。

(2)充分性：當(dāng)時， ，

令得

當(dāng)時， ， 為單調(diào)增函數(shù)，所以

當(dāng)時， ， 為單調(diào)減函數(shù)，所以

所以函數(shù)有唯一零點

必要性：設(shè)函數(shù)有唯一零點，因為，所以，

因為，由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值

記，所以

令得

當(dāng)時， ， 為單調(diào)減函數(shù)，

即

因為，且，

所以在內(nèi)有零點，與題意相矛盾。

當(dāng)時，同理有

因為，存在- ，有

所以在內(nèi)有零點，與題意相矛盾。

故

綜上， 有唯一零點的充要條件是。