【題目】已知函數(shù).

(1) 時，證明： ；

(2)當時，直線和曲線切于點，求實數(shù)的值；

(3)當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設條件構(gòu)造函數(shù)，運用導數(shù)知識求出其最小值，從而使得不等式獲證；（2）先設切點坐標為， ，然后建立方程組，求得.進而得到；（3）依據(jù)題設條件將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立， 進而分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值來求解：

解：(1)記，

∵，

令得，

當， ， 遞減；當， ， 遞增，

∴，

，

得.

(2)切點為， ，則

，∴，

∵，∴由(1)得.

所以.

(3)由題意可得恒成立，

所以，

下求的最小值，

，

由(1) 知且.

所以， 遞減，

∵，∴.

所以.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學校課題組為了研究學生的數(shù)學成績與學生細心程度的關系，在本校隨機調(diào)查了100名學生進行研究.研究結(jié)果表明：在數(shù)學成績及格的60名學生中有45人比較細心，另外15人比較粗心；在數(shù)學成績不及格的40名學生中有10人比較細心，另外30人比較粗心.

（1）試根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表；

數(shù)學成績及格

數(shù)學成績不及格

合計

比較細心

45

比較粗心

合計

60

100

（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為學生的數(shù)學成績與細心程度有關系？

參考數(shù)據(jù)：獨立檢驗隨機變量的臨界值參考表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

，其中

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學校課題組為了研究學生的數(shù)學成績與學生細心程度的關系，在本校隨機調(diào)查了100名學生進行研究.研究結(jié)果表明：在數(shù)學成績及格的60名學生中有45人比較細心，另外15人比較粗心；在數(shù)學成績不及格的40名學生中有10人比較細心，另外30人比較粗心.

（1）試根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表；

數(shù)學成績及格

數(shù)學成績不及格

合計

比較細心

45

比較粗心

合計

60

100

（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為學生的數(shù)學成績與細心程度有關系？

參考數(shù)據(jù)：獨立檢驗隨機變量的臨界值參考表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

，其中

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在某校舉行的航天知識競賽中，參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在，分數(shù)在80以上（含80）的同學獲獎.按文理科用分層抽樣的方法抽取200人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖（見下圖）

（Ⅰ）求所抽取樣本的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（Ⅱ）填寫下面的列聯(lián)表，能否有超過95%的把握認為“獲獎與學生的文理科有關”？

附表及公式：

，其中

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若在上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

(2)若，求證： 有唯一零點的充要條件是.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線的極坐標方程為，在以極點為直角坐標原點，極軸為軸的正半軸建立的平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）在平面直角坐標系中，設曲線經(jīng)過伸縮變換： 得到曲線，若為曲線上任意一點，求點到直線的最小距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了調(diào)查某高中學生每天的睡眠時間，隨即對20名男生和20名女生進行問卷調(diào)查.

（1）現(xiàn)把睡眠時間不足5小時的定義為“嚴重睡眠不足”，從睡眠時間不足6小時的女生中隨機抽取3人，求此3人中恰有一人為“睡眠嚴重不足”的概率；

（2）完成下面列聯(lián)表，并回答是否有的把握認為“睡眠時間與性別有關”？

參考公式： ，

臨界表值：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的多面體中， 平面， ， ， ， ， ， ， 是的中點.

(1)求證： 平面；

(2)求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】“DD共享單車”是為城市人群提供便捷經(jīng)濟、綠色低碳的環(huán)保出行方式，根據(jù)目前在三明市的投放量與使用的情況，有人作了抽樣調(diào)查，抽取年齡在二十至五十歲的不同性別的騎行者，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：

男性

女性

合計

20～35歲

40

100

36～50歲

40

90

合計

100

90

190

(1)求統(tǒng)計數(shù)據(jù)表中的值；

(2)假設用抽到的100名20～35歲年齡的騎行者作為樣本估計全市的該年齡段男女使用“DD共享單車”情況，現(xiàn)從全市的該年齡段騎行者中隨機抽取3人，求恰有一名女性的概率；

(3)根據(jù)以上列聯(lián)表，判斷使用“DD共享單車”的人群中，能否有的把握認為“性別”與“年齡”有關，并說明理由.

參考數(shù)表：

參考公式： ， .

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