Question

如圖，C、D是以AB為直徑的圓上兩點，AB=2AD=2

3

，AC=BC，F(xiàn)是AB上一點，且AF=

1

3

AB，將圓沿直徑AB折起，使點C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE=

2

．

（1）求證：AD⊥平面BCE；
（2）求三棱錐A-CFD的體積．
（3）異面直線AC與BD所成角的余弦值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得到AD⊥BD，結合CE⊥平面ADB得AD⊥CE，所以AD⊥平面BCE．
（2）由已知條件求出F到AD的距離等于E到AD的距離，由V_A-CFD=V_C-AFD，利用等積法能求出三棱錐A-CFD的體積．
（3）以E為原點，EF為x軸，ED為y軸，EC為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AC與BD所成角的余弦值．

解答： （1）證明：依題意：AD⊥BD．
∵CE⊥平面ABD．∴CE⊥AD．
∵BD∩CE=E，∴AD⊥平面BCE．
（2）解：Rt△BCE中，CE=

2

，BC=

6

，
∴BE=2，Rt△ABD中，AB=2

3

，AD=

3

，∴BD=3．
∴

BF

BA

=

BE

BD

=

2

3

，
∴AD∥EF，AD⊥ED，且ED=BD-BE=1，
∴F到AD的距離等于E到AD的距離，為1．
∴S_△FAD=

1

2

×

3

×1=

3

2

，
∵CE⊥平面ABD，
∴V_A-CFD=V_C-AFD=

1

3

×S△FAD×CE=

1

3

×

3

2

×

2

=

6

6

．
（3）解：以E為原點，EF為x軸，ED為y軸，EC為z軸，
建立空間直角坐標系，
則A（

3

，

3

2

，0），C（0，0，

2

），
D（

3

2

，0，0），B(-

3

2

，0，0)，

AC

=（-

3

，-

3

2

，

2

），

BD

=（-3，0，0），
cos＜

AC

，

BD

＞=

3 3

3× 3+2+ 9 4

=

2 87

29

．
∴異面直線AC與BD所成角的余弦值為

2 87

29

．

點評：本題將圓沿直徑翻折，求證面面垂直和線面平行，著重考查了空間線面平行的判定、線面垂直的性質和面面垂直的判定等知識，屬于中檔題．