【題目】在△ABC 內(nèi)部取n 個(gè)點(diǎn)， 將△ABC剖分為若干個(gè)小三角形(每?jī)蓚�(gè)小三角形或者有一個(gè)公共頂點(diǎn)，或者有一條公共邊，或者完全沒(méi)有公共點(diǎn)，如圖所示).現(xiàn)將點(diǎn)A 染紅色， 點(diǎn)B 染藍(lán)色，點(diǎn)C 染黑色，其余n 個(gè)點(diǎn)的每個(gè)點(diǎn)也任意染上紅、藍(lán)、黑三色之一.我們稱(chēng)三個(gè)頂點(diǎn)的顏色恰為紅、藍(lán)、黑的小三角形為“特征三角形”.證明：至少有一個(gè)小三角形是特征三角形.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

設(shè)在△ABC 內(nèi)部的紅藍(lán)邊(即一端點(diǎn)為紅點(diǎn), 一端點(diǎn)為藍(lán)點(diǎn)的邊)有條, 又設(shè)三個(gè)頂點(diǎn)顏色不同(紅、藍(lán)、黑各一個(gè))的特征三角形共有個(gè), 三頂點(diǎn)分別為紅、紅、藍(lán)或藍(lán)、藍(lán)、紅的小三角形共有個(gè), 其余的小三角形(如頂點(diǎn)顏色為紅、紅、黑;紅、紅、紅;藍(lán)、藍(lán)、黑;藍(lán)、藍(lán)、藍(lán);黑、黑、黑;黑、黑、紅;黑、黑、藍(lán)等)共個(gè).

我們統(tǒng)計(jì)每個(gè)小三角形紅藍(lán)邊的條數(shù), 再把它們加起來(lái), 總和數(shù)為.

從另一角度看, 由于每一條在大三角形的內(nèi)部的紅藍(lán)邊都為兩個(gè)小三角形的公共邊, 即被統(tǒng)計(jì)兩次, 而大△ABC 的一條紅藍(lán)邊只屬于一個(gè)小三角形, 只計(jì)數(shù)一次.所以, 總和數(shù)為.因此，.

從而，是個(gè)奇數(shù).

因此, 三個(gè)頂點(diǎn)的顏色全不相同的特征三角形個(gè)數(shù)p 是奇數(shù), p 最少是1.也就是說(shuō)至少有一個(gè)小三角形是特征三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知集合.對(duì)于的一個(gè)子集,若存在不大于的正整數(shù),使得對(duì)于中的任意一對(duì)元素,都有,則稱(chēng)具有性質(zhì).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí),試判斷集合和是否具有性質(zhì)?并說(shuō)明理由.

（Ⅱ）若時(shí)，

①若集合具有性質(zhì),那么集合是否一定具有性質(zhì)?并說(shuō)明理由;

②若集合具有性質(zhì),求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】(1)從區(qū)間內(nèi)任意選取一個(gè)實(shí)數(shù)，求的概率；

(2)從區(qū)間內(nèi)任意選取一個(gè)整數(shù)，求的概率

【答案】(1) .(2) .

【解析】試題(1)根據(jù)幾何概型概率公式，分別求出滿足不等式的的區(qū)間長(zhǎng)度與區(qū)間總長(zhǎng)度，求比值即可；(2) 區(qū)間內(nèi)共有個(gè)數(shù)，滿足的整數(shù)為共有 個(gè)，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.

試題解析： (1)∵，∴，

故由幾何概型可知，所求概率為.

(2)∵，∴，

則在區(qū)間內(nèi)滿足的整數(shù)為5，6，7，8，9，共有5個(gè)，

故由古典概型可知，所求概率為.

【方法點(diǎn)睛】本題題主要考查古典概型及“區(qū)間型”的幾何概型，屬于中檔題. 解決幾何概型問(wèn)題常見(jiàn)類(lèi)型有：長(zhǎng)度型、角度型、面積型、體積型，區(qū)間型，求與區(qū)間有關(guān)的幾何概型問(wèn)題關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題題的總區(qū)間 以及事件的區(qū)間；幾何概型問(wèn)題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯(cuò)誤；（2）基本裏件對(duì)應(yīng)的區(qū)域測(cè)度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤 ；（3）利用幾何概型的概率公式時(shí) , 忽視驗(yàn)證事件是否等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤.

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）的圖象過(guò)的（-2，16）．

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）若f（2m+5）＜f（3m+3），求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知△ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x-y-5=0，AC邊上的高BH所在的直線方程為x-2y-5=0．

（Ⅰ）求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（Ⅱ）求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（1）求證：對(duì)，函數(shù)與存在相同的增區(qū)間；

（2）若對(duì)任意的， ，都有成立，求正整數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線y=k（x﹣m）與拋物線y2=2px（p＞0）交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA⊥OB，OD⊥AB于D，點(diǎn)D在曲線x2+y2﹣4x=0上，則p= ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， a1= ，公比q＞0，S1+a1 ， S3+a3 ， S2+a2成等差數(shù)列．
（1）求an；
（2）設(shè)bn= ，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若函數(shù)y=f（x）滿足：對(duì)y=f（x）圖象上任意點(diǎn)P（x1 ， f（x1）），總存在點(diǎn)P′（x2 ， f（x2））也在y=f（x）圖象上，使得x1x2+f（x1）f（x2）=0成立，稱(chēng)函數(shù)y=f（x）是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”，給出下列五個(gè)函數(shù)：
①y=x﹣1；
②y=log2x；
③y=sinx+1；
④y=ex﹣2；
⑤y= ．
其中是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”的序號(hào)是（寫(xiě)出所有正確的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，等邊三角形的中線與中位線相交于，已知是繞旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形，下列命題中，錯(cuò)誤的是

A. 恒有⊥

B. 異面直線與不可能垂直

C. 恒有平面⊥平面

D. 動(dòng)點(diǎn)在平面上的射影在線段上

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