【題目】已知橢圓C1: 的離心率為 ,焦距為 ,拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F是橢圓C1的頂點(diǎn). (Ⅰ)求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)C1上不同于F的兩點(diǎn)P,Q滿足 ,且直線PQ與C2相切,求△FPQ的面積.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)橢圓C1的焦距為2c,依題意有 , , 解得 ,b=2,故橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
又拋物線C2:x2=2py(p>0)開口向上,故F是橢圓C1的上頂點(diǎn),
∴F(0,2),∴p=4,
故拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y.…(5分)
(Ⅱ)由題意得直線PQ的斜率存在.設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m,
設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),則 , ,
∴ ,
即 (*)
聯(lián)立 ,消去y整理得,(3k2+1)x2+6kmx+3m2﹣12=0(**).
依題意,x1 , x2是方程(**)的兩根,△=144k2﹣12m2+48>0,
∴ , ,
將x1+x2和x1x2代入(*)得m2﹣m﹣2=0,
解得m=﹣1,(m=2不合題意,應(yīng)舍去).
聯(lián)立 ,消去y整理得,x2﹣8kx+8=0,
令△'=64k2﹣32=0,解得 .
經(jīng)檢驗, ,m=﹣1符合要求.
此時, ,
∴
【解析】(Ⅰ)設(shè)橢圓C1的焦距為2c,依題意有 , ,由此能求出橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程;又拋物線C2:x2=2py(p>0)開口向上,故F是橢圓C1的上頂點(diǎn),由此能求出拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.(Ⅱ)設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m,設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),則 , ,聯(lián)立 ,得(3k2+1)x2+6kmx+3m2﹣12=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式,結(jié)合已知件能求出△FPQ的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將所得的圖象向左平移 個單位,得到的圖象對應(yīng)的解析式是( )
A.y=sin(2x+ )
B.y=sin( x+ )
C.y=sin( x+ )
D.y=sin(2x+ )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 為圓的直徑,點(diǎn), 在圓上, ,矩形和圓所在的平面互相垂直,已知, .
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的大。
(Ⅲ)當(dāng)的長為何值時,二面角的大小為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知各項不為零的數(shù)列的前項和為,且, , .
(1)若成等比數(shù)列,求實數(shù)的值;
(2)若成等差數(shù)列,
①求數(shù)列的通項公式;
②在與間插入個正數(shù),共同組成公比為的等比數(shù)列,若不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=2BC=4,E為邊AB的中點(diǎn),將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn),則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中: ①|(zhì)BM|是定值;
②點(diǎn)M在圓上運(yùn)動;
③一定存在某個位置,使DE⊥A1C;
④一定存在某個位置,使MB∥平面A1DE.
其中正確的命題是( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x﹣2.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[ , ]時,求函數(shù)f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以為頂點(diǎn)的六面體中, 和均為等邊三角形,且平面平面, 平面, , .
(1)求證: 平面;
(2)求此六面體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,側(cè)面PAD底面ABCD, ;
(1)求證:平面PAB平面PCD;
(2)若過點(diǎn)B的直線垂直平面PCD,求證: //平面PAD.
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