已知函數(shù)f（x）=
2•3x+a
3x+1+b
是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若存在實(shí)數(shù)m，n，使n＜f（x）＜m對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，求m-n的最小值．
考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)得性質(zhì)得f（0）=0、f（-1）=-f（1），列出方程求得a、b的值；
（2）由（1）得函數(shù)的解析式，利用分離常數(shù)法花間解析式，再由指數(shù)函數(shù)得值域逐步求出函數(shù)f（x）的值域，再求出m-n的最小值．
解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，得
2•30+a
31+b
=0，解得a=-2，
再由f（-1）=-f（1），得
2•3-1-2
30+b
=-
2•31-2
32+b
，
解得b=3，
故實(shí)數(shù)a、b的值分別為：-2、3；
（2）由（1）得，f(x)=
2•3x-2
3x+1+3
=
2(3x-1)
3(3x+1)
=
2
3
•
3x-1
3x+1

=
2
3
•
3x+1-2
3x+1
=
2
3
(1-
2
3x+1
)＜
2
3
，
∵3x+1＞1，∴0＜
2
3x+1
＜2，
則-2＜-
2
3x+1
＜0，即-
2
3
＜
2
3
(1-
2
3x+1
)＜
2
3
，
∴-
2
3
＜f(x)＜
2
3
，
∴使n＜f（x）＜m對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，m-n的最小值為
2
3
-(-
2
3
)=
4
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，指數(shù)函數(shù)得性質(zhì)，不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問(wèn)題，以及分離常數(shù)法求函數(shù)的值域，考查計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若
AD
=2
DB
，
CD
=λ
CA
+μ
CB
，則
μ
λ
的值為（　�。�
A、1
B、
1
2
C、2
D、
1
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知3cos（B-C）-1=6cosBcosC．
（Ⅰ）求cosA；
（Ⅱ）若a=3，△ABC的面積為2
2
，且b＞c，求b，c．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l1：y=3x，l2：y=
1
2
x如圖，在第一象限內(nèi)，在l1上從左至右，從下至上依次取點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，在l2上從左至右，從下至上依次取點(diǎn)B1，B2，B3，…，Bn，若記S △A1OB1=S1，S △A2OB2=S2，…，S △AnOBn=Sn，…．
（1）求∠A1OB1的大��；
（2）再記S △A1OB2=S1′，S △A2OB1=S2′，試比較S1+S2與S1′+S2′的大小關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足|PM|+|PN|=2
3
，
（1）求P的軌跡C的方程；
（2）是否存在過(guò)點(diǎn)N（1，0）的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，并且曲線C上存在點(diǎn)Q，使四邊形OAQB為平行四邊形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，過(guò)F2作長(zhǎng)軸的垂線，在第一象限和橢圓交于點(diǎn)H，且tan∠HF1F2=
3
4
．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±4
5
，一條過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，N為橢圓上滿足|NA|=|NB|的一點(diǎn)，試求
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
2
|ON|2
的值；
（3）設(shè)動(dòng)直線l2：y=kx+m與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q，若x軸上存在一定點(diǎn)M（1，0），使得PM⊥QM，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
ax2+x+1
，其中a∈R
（Ⅰ）若a=0，求函數(shù)f（x）的定義域和極值；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，試確定函數(shù)g（x）=f（x）-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2-10n，
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求Sn的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)y=4cos2x-4
3
sinxcosx-1（x∈R）．
（1）求出函數(shù)的最小正周期；
（2）求出函數(shù)的最大值及其相對(duì)應(yīng)的x值；
（3）求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（4）求出函數(shù)的對(duì)稱軸．

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