Question

△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知3cos（B-C）-1=6cosBcosC．
（Ⅰ）求cosA；
（Ⅱ）若a=3，△ABC的面積為2

2

，且b＞c，求b，c．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式左邊第一項利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，整理后求出cos（B+C）的值，再利用誘導(dǎo)公式變形即可求出cosA的值；
（Ⅱ）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將sinA與已知面積代入得到bc=6，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將a，bc，cosA的值代入得到b²+c²=13，聯(lián)立即可求出b與c的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得：3cos（B-C）-1=3（cosBcosC+sinBsinC）-1=6cosBcosC，
整理得：3（-cosBcosC+sinBsinC）=1，即cos（B+C）=-

1

3

，
則cosA=-cos（B+C）=

1

3

；
（II）由（Ⅰ）得sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
∵△ABC面積為2

2

，即

1

2

bcsinA=

1

2

bc•

2 2

3

=2

2

，
∴bc=6①，
∵a=3，cosA=

1

3

，bc=6，
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-9

12

=

1

3

，即b²+c²=13②，
聯(lián)立①②，解得：

b=3 c=2

或

b=2 c=3

（舍），
則b=3，c=2．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．