Question

8．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$．
（1）求$\frac{1}{{a}_{1}-1}$的值；
（2）證明：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）直接由a₁=$\frac{3}{2}$求得$\frac{1}{{a}_{1}-1}$的值；
（2）由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案．

解答 （1）解：∵a₁=$\frac{3}{2}$，∴$\frac{1}{{a}_{1}-1}=\frac{1}{\frac{3}{2}-1}=2$；
（2）證明：∵a_n+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，∴${a}_{n}=\frac{2{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}（n≥2）$，
∴${a}_{n}-1=\frac{2{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}-1=\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}=\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-1}=\frac{（{a}_{n-1}-1）+1}{{a}_{n-1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}+1（n≥2）$．
即$\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n-1}-1}=1（n≥2）$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{a}_{n}-1}=2+1×（n-1）=n+1$，
∴${a}_{n}=\frac{n+2}{n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，是中檔題．