Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+ln（x+1）．
（1）當(dāng)a=-

1

4

時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在

x≥0 y-x≤0

所表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式f（x）≤x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f′（x）=-

1

2

x+

1

x+1

=-

(x+2)(x-1)

2(x+1)

（x＞-1），利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)不等式恒成立的條件，將且轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問(wèn)題解決，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性后利用單調(diào)性求出最大值即可得證．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-

1

4

時(shí)，f（x）=-

1

4

x²+ln（x+1）（x＞-1），
f′（x）=-

1

2

x+

1

x+1

=-

(x+2)(x-1)

2(x+1)

（x＞-1），
由f'（x）＞0解得-1＜x＜1，由f'（x）＜0，解得x＞1．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．
（2）函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在

x≥0 y-x≤0

所表示的平面區(qū)域內(nèi)，
則當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，不等式f（x）≤x恒成立，即ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，
設(shè)g（x）=ax²+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）_max≤0即可．
由g′（x）=2ax+

1

x+1

-1=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，
（�。┊�(dāng)a=0時(shí)，g′（x）=

-x

x+1

，當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
故g（x）≤g（0）=0成立，
（ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，由g′（x）=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

=0，因x∈[0，+∞），所以x=

1

2a

-1，
①若

1

2a

-1＜0，即a＞

1

2

時(shí)，在區(qū)間（0，+∞）上，g'（x）＞0，
則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）在[0，+∞）上無(wú)最大值（或：當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→+∞），此時(shí)不滿足條件；
②若

1

2a

-1≥0，即0＜a≤

1

2

時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，

1

2a

-1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（

1

2a

-1，+∞）上單調(diào)遞增，
同樣g（x）在[0，+∞）上無(wú)最大值，不滿足條件．
（ⅲ）當(dāng)a＜0時(shí)，由g′（x）=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，
∵x∈[0，+∞），
∴2ax+（2a-1）＜0，
∴g'（x）＜0，故函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
故g（x）≤g（0）=0成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題主考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的最值等有關(guān)知識(shí)，注意不等式成立的條件及分類討論思想、轉(zhuǎn)化及劃歸思想的運(yùn)用，屬綜合性較強(qiáng)的題目，難題．