Question

已知橢圓G的離心率為

2

2

，其短軸兩端點為A（0，1），B（0，-1）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）若C、D是橢圓G上關(guān)于y軸對稱的兩個不同點，直線AC、BD與x軸分別交于點M、N．判斷以MN為直徑的圓是否過點A，并說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件設(shè)橢圓G的方程為：

x2

a2

+y2=1，(a＞1)．由e=

2

2

，得e2=

a2-1

a2

=

1

2

，由此能求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設(shè)C（x₁，y₁），且x₁≠0，則D（-x₁，y₁），由已知條件推導(dǎo)出

AM

•

AN

=

-x02

1-y02

+1，x02=2(1-y02)，由此能求出以線段MN為直徑的圓不過點A．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓G的離心率為

2

2

，其短軸兩端點為A（0，1），B（0，-1），
∴設(shè)橢圓G的方程為：

x2

a2

+y2=1，(a＞1)．
由e=

2

2

，得e2=

a2-1

a2

=

1

2

，
解得a²=2，
∴橢圓的標準方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）以MN為直徑的圓是不過點A．理由如下：
∵C、D是橢圓G上關(guān)于y軸對稱的兩個不同點，
∴設(shè)C（x₁，y₁），且x₁≠0，則D（-x₁，y₁）．
∵A（0，1），B（0，-1），∴直線AC的方程為y=

y0-1

x0

x+1．
令y=0，得xM=

-x0

y0-1

，∴M（

-x0

y0-1

，0）．
同理直線BD的方程為y=

y0+1

-x0

x-1，令y=0，解得N（

-x0

y0+1

，0）．

AM

=(

x0

1-y0

，-1)，

AN

=(

-x0

1+y0

，-1)，
∴

AM

•

AN

=

-x02

1-y02

+1，
由C（x₁，y₁）在橢圓G：

x2

2

+y2=1上，∴x02=2(1-y02)，
∴

AM

•

AN

=-1≠0，
∴∠MAN≠90°，
∴以線段MN為直徑的圓不過點A．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查圓是否經(jīng)過一個點的判斷，解題時要認真審題，注意向量知識的合理運用．