Question

如圖，已知圓G：x²+y²-2x-

2

y=0，經(jīng)過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F及上頂點(diǎn)B，過圓外一點(diǎn)（m，0）（m＞a）傾斜角為

5π

6

的直線l交橢圓于C，D兩點(diǎn)，
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若右焦點(diǎn)F在以線段CD為直徑的圓E的外部，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得F（2，0），B（0，

2

），由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）法一：設(shè)直線l的方程為y=-

3

3

(x-m)(m＞

6

)．由

x2 6 + y2 2 =1 y=- 3 3 (x-m)

，得2x²-2mx+（m²-6）=0．由此利用韋達(dá)定理結(jié)合向量知識(shí)能求出3＜m＜2

3

．
（Ⅱ）法二：設(shè)直線l的方程為y=-

3

3

(x-m)(m＞

6

)．由

x2 6 + y2 2 =1 y=- 3 3 (x-m)

得2x²-2mx+（m²-6）=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合圓的知識(shí)能求出3＜m＜2

3

．

解答： （本題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵圓G：x2+y2-2x-

2

y=0經(jīng)過點(diǎn)F、B．
∴F（2，0），B（0，

2

），∴c=2，b=

2

．（2分）
∴a²=4+2=6．
故橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．（4分）
（Ⅱ）解法一：設(shè)直線l的方程為y=-

3

3

(x-m)(m＞

6

)．
由

x2 6 + y2 2 =1 y=- 3 3 (x-m)

消去y，得2x²-2mx+（m²-6）=0．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=m，x1x2=

m2-6

2

，（6分）
∴y1y2=[-

3

3

(x1-m)]•[-

3

3

(x2-m)]=

1

3

x1x2-

m

3

(x1+x2)+

m2

3

．
∵

FC

=(x1-2，y1)，

FD

=(x2-2，y2)，
∴

FC

•

FD

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=

4

3

x1x2-

(m+6)

3

(x1x2)+

m2

3

+4=

2m(m-3)

3

．（10分）
∵點(diǎn)F在圓G的外部，∴

FC

•

FD

＞0，即

2m(m-3)

3

＞0，
解得m＜0或m＞3．------------（12分）
由△=4m²-8（m²-6）＞0，解得-2

3

＜m＜2

3

．
又m＞

6

，

6

＜m＜2

3

．
∴3＜m＜2

3

．（14分）
（Ⅱ）解法二：設(shè)直線l的方程為y=-

3

3

(x-m)(m＞

6

)．
由

x2 6 + y2 2 =1 y=- 3 3 (x-m)

消去y，得2x²-2mx+（m²-6）=0．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=m，x1x2=

m2-6

2

，（6分）
則CD的中點(diǎn)為G(

m

2

，

3

6

m)，
又|CD|=

1+ 1 3

|x1-x2|=

2 3

3

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 3

3

12-m2

，
所以圓G的半徑長(zhǎng)

|CD|

2

=

3

3

12-m2

，
又右焦點(diǎn)F（2，0），∴|FG|2=(

m

2

-2)2+

3

36

m2，
因點(diǎn)F在圓G的外部，∴|FG|2＞(

|CD|

2

)2，即(

m

2

-2)2+

3

36

m2＞

12-m2

3

，
整理得

2m(m-3)

3

＞0
解得m＜0或m＞3．（12分）
由△=4m²-8（m²-6）＞0，解得-2

3

＜m＜2

3

．
又m＞

6

，

6

＜m＜2

3

．∴3＜m＜2

3

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．