【題目】已知四棱錐中，底面為直角梯形， 平面，側面是等腰直角三角形， ， ，點是棱的中點．

（1）證明：平面平面；

（2）求銳二面角的余弦值．

【答案】(1)見解析(2)

【解析】，

試題分析：（1）取AC的中點F，連接BF，可證平面ACD，又可證四邊形BFME是平行四邊形.可得 EM//BF，可證平面ACD，從而平面平面；（2）利用空間直角坐標進行向量運算，根據(jù)法向量夾角即可求出.

試題解析：

（1）證明：取AC的中點F，連接BF，

因為AB＝BC，所以， 平面ABC,所以CD .

又所以平面ACD.①

因為AM=MD，AF=CF，所以.

因為 ，所以//MF，

所以四邊形BFME是平行四邊形.所以EM//BF.②

由①②,得平面ACD，所以平面平面；

（2）解： BE平面ABC，

又，

以點B為原點，直線BC、BA、BE分別為x,y,z軸，

建立空間直角坐標系B-xyz.

由，得B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，D(2,0,2).

由中點坐標公式得， ,，

設向量為平面BMC的一個法向量，則即

令y=1,得x=0，z=－1，即,

由（I）知， 是平面ACD的一個法向量.

設二面角B－CM－A的平面角為，

則，

又二面角B－CM－A為銳二面角，故.

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整理評分數(shù)據(jù)，將分數(shù)以為組距分成組： ， ， ， ， ， ，得到A餐廳分數(shù)的頻率分布直方圖，和B餐廳分數(shù)的頻數(shù)分布表：

B餐廳分數(shù)頻數(shù)分布表

分數(shù)區(qū)間

頻數(shù)

定義學生對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”如下：

分數(shù)

滿意度指數(shù)

（Ⅰ）在抽樣的100人中，求對A餐廳評價“滿意度指數(shù)”為的人數(shù)；

（Ⅱ）從該校在A，B兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取1人進行調查，試估計其對A餐廳評價的“滿意度指數(shù)”比對B餐廳評價的“滿意度指數(shù)”高的概率；

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