已知m∈R,函數(shù)f(x)=mx2-2ex
(Ⅰ)當(dāng)m=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)有兩極值點(diǎn)a,b(a<b),(。┣髆的取值范圍;(ⅱ)求證:-e<f(a)<-2.

解:(Ⅰ)m=2時(shí),f(x)=2x2-2ex,f'(x)=4x-2ex=2(2x-ex).
令g(x)=2x-ex,g'(x)=2-ex,
當(dāng)x∈(-∞,ln2)時(shí),g'(x)>0,x∈(ln2,+∞)時(shí),g'(x)<0,
∴g(x)≤g(ln2)=2ln2-2<0,
∴f'(x)<0,
∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(-∞,+∞).
(Ⅱ)(i)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)a,b(a<b),
則a,b是方程f'(x)=2mx-2ex=0的兩不等實(shí)根.
∵x=0顯然不是方程的根,∴有兩不等實(shí)根.
,則,
當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,x∈(1,+∞)時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
要使有兩不等實(shí)根,應(yīng)滿足m>h(1)=e,
∴m的取值范圍是(e,+∞).
(ii)∵f(a)=ma2-2ea,且f'(a)=2ma-2ea=0,
,
令g(x)=f′(x)=2mx-2ex,g′(x)=2(m-ex),
∵g(0)=-2<0,g(x)在區(qū)間(0,lnm)上單調(diào)遞增,g(x)在(lnm,+∞)上遞減,g(1)=2(m-e)>0,∴a∈(0,1),
設(shè)φ(x)=ex(x-2)(0<x<1),則φ'(x)=ex(x-1)<0,φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,
∴φ(1)<φ(a)<φ(0),即-e<f(a)<-2.
分析:(Ⅰ)當(dāng)m=2時(shí)求導(dǎo)數(shù)f′(x)=2(2x-ex),再令g(x)=2x-ex,利用導(dǎo)數(shù)可求出g(x)的最大值,由最大值可知g(x)的符號(hào),從而得到f′(x)的符號(hào),由此即可求得f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)(i)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)a,b(a<b),則a,b是方程f'(x)=2mx-2ex=0的兩不等實(shí)根.易知x≠0,從而轉(zhuǎn)化為有兩不等實(shí)根,令,利用導(dǎo)數(shù)可求得h(x)的取值范圍,從而得到m的范圍;(ii)由f(a)=ma2-2ea及f'(a)=2ma-2ea=0,得f(a)=ea(a-2),令g(x)=f′(x),根據(jù)g(0)=-2<0,g(1)=2(m-e)>0可求得a的范圍,設(shè)φ(x)=ex(x-2)(0<x<1),利用導(dǎo)數(shù)易判斷φ(x)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性可得φ(1)<φ(a)<φ(0),代入值即可得到結(jié)論;
點(diǎn)評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力,根據(jù)需要靈活構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵所在,注意總結(jié)歸納.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知m∈R,函數(shù)f(x)=(x2+mx+m)ex
(1)若函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)存在極大值,并記為g(m),求g(m)的表達(dá)式;
(3)當(dāng)m=0時(shí),求證:f(x)≥x2+x3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知m∈R,函數(shù)f(x)=(x2+mx+m)ex
(Ⅰ)若m=-1,求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•大連一模)已知m∈R,函數(shù)f(x)=mx2-2ex
(Ⅰ)當(dāng)m=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)有兩極值點(diǎn)a,b(a<b),(。┣髆的取值范圍;(ⅱ)求證:-e<f(a)<-2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•大連一模)已知m∈R,函數(shù)f(x)=mx2-2ex
(Ⅰ)當(dāng)m=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知m∈R,函數(shù)f(x)=mx-
m-1
x
-lnx
,g(x)=
1
2
+lnx

(I)求g(x)的極小值;
(Ⅱ)若y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)證明:
ln2
2
+
ln3
3
+
ln4
4
+…+
lnn
n
n2
2(n+1)
(n∈N*)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案