解:(Ⅰ)m=2時(shí),f(x)=2x
2-2e
x,f'(x)=4x-2e
x=2(2x-e
x).
令g(x)=2x-e
x,g'(x)=2-e
x,
當(dāng)x∈(-∞,ln2)時(shí),g'(x)>0,x∈(ln2,+∞)時(shí),g'(x)<0,
∴g(x)≤g(ln2)=2ln2-2<0,
∴f'(x)<0,
∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(-∞,+∞).
(Ⅱ)(i)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)a,b(a<b),
則a,b是方程f'(x)=2mx-2e
x=0的兩不等實(shí)根.
∵x=0顯然不是方程的根,∴
有兩不等實(shí)根.
令
,則
,
當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,x∈(1,+∞)時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
要使
有兩不等實(shí)根,應(yīng)滿足m>h(1)=e,
∴m的取值范圍是(e,+∞).
(ii)∵f(a)=ma
2-2e
a,且f'(a)=2ma-2e
a=0,
∴
,
令g(x)=f′(x)=2mx-2e
x,g′(x)=2(m-e
x),
∵g(0)=-2<0,g(x)在區(qū)間(0,lnm)上單調(diào)遞增,g(x)在(lnm,+∞)上遞減,g(1)=2(m-e)>0,∴a∈(0,1),
設(shè)φ(x)=e
x(x-2)(0<x<1),則φ'(x)=e
x(x-1)<0,φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,
∴φ(1)<φ(a)<φ(0),即-e<f(a)<-2.
分析:(Ⅰ)當(dāng)m=2時(shí)求導(dǎo)數(shù)f′(x)=2(2x-e
x),再令g(x)=2x-e
x,利用導(dǎo)數(shù)可求出g(x)的最大值,由最大值可知g(x)的符號(hào),從而得到f′(x)的符號(hào),由此即可求得f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)(i)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)a,b(a<b),則a,b是方程f'(x)=2mx-2e
x=0的兩不等實(shí)根.易知x≠0,從而轉(zhuǎn)化為
有兩不等實(shí)根,令
,利用導(dǎo)數(shù)可求得h(x)的取值范圍,從而得到m的范圍;(ii)由f(a)=ma
2-2e
a及f'(a)=2ma-2e
a=0,得f(a)=e
a(a-2),令g(x)=f′(x),根據(jù)g(0)=-2<0,g(1)=2(m-e)>0可求得a的范圍,設(shè)φ(x)=e
x(x-2)(0<x<1),利用導(dǎo)數(shù)易判斷φ(x)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性可得φ(1)<φ(a)<φ(0),代入值即可得到結(jié)論;
點(diǎn)評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力,根據(jù)需要靈活構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵所在,注意總結(jié)歸納.