Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)L與拋物線(xiàn)y²=4x相交于不同的A、B兩點(diǎn)．且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4．
（1）證明直線(xiàn)L必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．
（2）求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程．
（3）求三角形AOB面積最小時(shí)，直線(xiàn)AB的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線(xiàn)的方程，同拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量積等于-4，做出數(shù)量積表示式中的b的值，即得到定點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）假設(shè)線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系即可求得．
（3）求出AB，原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離，可得面積，即可求出三角形AOB面積最小時(shí)，直線(xiàn)AB的方程．

解答 （1）證明：設(shè)l：x=ty+b，代入拋物線(xiàn)方程y²=4x中得，y²-4ty-4b=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b，…（2分）
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=（t{y_1}+1）（t{y_2}+1）+{y_1}{y_2}$
=${t^2}{y_1}{y_2}+t（{y_1}+{y_2}）++{y_1}{y_2}=-4b{t^2}+4b{t^2}+{b^2}-4b={b^2}-4b$，
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0，b=2，
∴直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)（2，0），∴若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$，則直線(xiàn)l必過(guò)一定點(diǎn)…（5分）
（2）解：設(shè)P（x，y）由（1）得：y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4bb=2
得x₁+x₂=4t²+4，∴x=2t²+2，y=2t 
消去t得P點(diǎn)的軌跡方程為：y²=2x-2…（8分）
（3）解：AB=$4\sqrt{{k^2}+2}\sqrt{1+{k^2}}$，原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$（式子中k為t）
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}×|AB|×d=4\sqrt{{k^2}+2}≥4\sqrt{2}$
當(dāng)k=0時(shí)，三角形AOB面的最小，最小值是$4\sqrt{2}$…（12分）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，考查軌跡方程的求解，利用了代入法，屬于中檔題．