Question

設(shè)△ABC，P₀是邊AB上一定點，滿足P₀B=

1

4

AB，且對于邊AB任一點P，恒有

PB

•

PC

≥

P0B

•

P0C

，則三角形ABC的形狀為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由題意 P₀、P、A、B 四點共線，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=4，C（a，b），P（x，0），根據(jù)

PB

•

PC

≥

P0B

•

P0C

，得x²-4（a+1）x+a+1≥0 恒成立，由判別式△≤0，得a=0，即得點C在AB的垂直平分線上，從而得出結(jié)論．

解答： 解：根據(jù)題意，P₀、P、A、B 四點共線，
以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=4，C（a，b），P（x，0），
則A（-2，0），B（2，0），P₀（1，0）；
∵

PB

•

PC

≥

P0B

•

P0C

，∴（2-x）（a-x）≥a-1，
即 x²-（a+2）x+a+1≥0 恒成立，
∴判別式△=（a+2）²-4（a+1）≤0；
解得a²≤0，
∴a=0，即點C在AB的垂直平分線上，
∴CA=CB，即△ABC是等腰三角形．
故答案為：等腰三角形．

點評：本題考查了平面向量的數(shù)量積的運算問題，解題時應(yīng)根據(jù)題意，建立適當(dāng)?shù)刂苯亲鴺?biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)運算，以簡化運算，是中檔題．