Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+10，在區(qū)間[1，2]內(nèi)至少存在一個實(shí)數(shù)x，使得f（x）＜0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：要使f（x）在區(qū)間[1，2]內(nèi)至少有一個實(shí)數(shù)x，使得f（x）＜0，只需f（x）在[1，2]內(nèi)的最小值小于0．利用f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a），且由f′（x）=0，知x₁=0，x₂=

2a

3

，故進(jìn)行分類討論：①當(dāng)

2

3

a≤0即a≤0；②當(dāng)0＜

2a

3

≤1即0＜a≤

3

2

；③當(dāng)1＜

2a

3

＜2即 

3

2

＜a＜3；④

2a

3

≥2即a≥3，求出相應(yīng)的最小值，從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：要使f（x）在區(qū)間[1，2]內(nèi)至少有一個實(shí)數(shù)x，使得f（x）＜0，只需f（x）在[1，2]內(nèi)的最小值小于0．
∵f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a），且由f′（x）=0，知x₁=0，x₂=

2a

3

，
①當(dāng)

2a

3

≤0即a≤0時，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，
由f（x）_min=f（1）=3-2a＜0，解得a＞

3

2

．這與a＜0矛盾，舍去．
②當(dāng)0＜

2a

3

≤1即0＜a≤

3

2

時，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，2]上是增函數(shù)．
由f（x）_min=f（1）=3-2a＜0，解得a＞

3

2

．這與0＜a≤

3

2

矛盾，舍去．
③當(dāng)1＜

2a

3

＜2即

3

2

＜a＜3時，
當(dāng)1≤x＜

2a

3

時，f′（x）＜0，∴f（x）在[1，

2a

3

）上是減函數(shù)，
當(dāng)

2a

3

≤x＜2時，f′（x）＞0，∴f（x）在[

2a

3

，1）上是增函數(shù)．
∴f（x）min=f（

2a

3

）=10-

4

27

a3＜0，解得a＞

3 3 20

2

．這與

3

2

＜a＜3矛盾，舍去．
④

2a

3

≥2即a≥3時，f′（x）＜0，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（2）=18-4a＜0，解得a＞

9

2

．結(jié)合a≥3得a＞

9

2

．
綜上，a＞

9

2

時滿足題意．
故答案為：（

9

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式恒成立的參數(shù)范圍問題常采用分離參數(shù)求函數(shù)的最值．