Question

【題目】定義在上的函數(shù)滿足，．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）如果、、滿足，那么稱比更靠近．當且時，試比較和哪個更靠近，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（3）比更靠近．

【解析】

試題分析：（1）兩邊求導，可建立關于，的方程組，求得其值，即可得到解析式；（2）求導，對的取值進行分類討論，即可得到結(jié)論；（3）設，，從而問題等價于，通過對的取值范圍進行分類討論，利用求導判斷單調(diào)性求極值，即可得到結(jié)論．

試題解析：（1），∴，即，又，∴，∴；（2）∵，

∴，

∴，①當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，②當時，由得，∴時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）設，，∵，∴在上為減函數(shù)，又∵，

∴當時，，當時，，∵，，

∴在上為增函數(shù)，又∵，∴時，，∴在上為增函數(shù)，∴，①當時，，

設，則，∴在上為減函數(shù)，

∴，∵，∴，∴，∴比更靠近，

②當時，，

設，則，，∴在時為減函數(shù)，

∴，∴在時為減函數(shù)，∴，

∴，∴比更靠近，綜上：在，時，比更靠近．