Question

在甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在他們之間的此岸邊合建一個污水處理廠C，從污水處理廠到甲廠和乙廠的鋪設(shè)的排污管道費用分別為每千米3a元和5a元，記鋪設(shè)管道的總費用為y元．
（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：
設(shè)∠BCD=θ（rad），將y表示成θ的函數(shù)；
設(shè)CD=x（km），將y表示成x的函數(shù)；
（2）請你選用（1）中的一個函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的污水管道的總費用最少．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）法一：設(shè)∠BCD=θ，則BC=

40

sinθ

，CD=40cotθ，（0＜θ＜

π

2

），AC=50-40cotθ，可表示y；法二：設(shè)CD=xkm，則BD=40，AC=50-x，BC=

BD2+CD2

=

x2+402

，可表示函數(shù)y；
（2）選法二：利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的最值，得到結(jié)論；

解答： 解：（1）解法一：設(shè)∠BCD=θ，則BC=

40

sinθ

，CD=40cotθ，（0＜θ＜

π

2

），∴AC=50-40cotθ，
設(shè)總的水管費用為f（θ），依題意，有
f（θ）=3a（50-40•cotθ）+5a•

40

sinθ

=150a+40a•

5-3cosθ

sinθ

；
解法二：設(shè)C點距D點xkm，則CD=xkm，
∵BD=40，AC=50-x，∴BC=

BD2+CD2

=

x2+402

，
又設(shè)總的水管費用為y元，依題意有：
y=3a（5a-x）+5a

x2+402

（0＜x＜50），
（2）設(shè)CD=xkm，則y=30（5a-x）+5a

x2+402

（0＜x＜50），
y′=-3a+

5ax

x2+402

，令y′=0，解得x=30，
在（0，50）上，y只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義，
函數(shù)在x=30（km）處取得最小值，此時AC=50-x=20（km），
∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最�。�

點評：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，根據(jù)實際問題背景建立恰當函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．