Question

為考察某種藥物防治疾病的效果，對105只動物進行試驗，得到如下的列聯(lián)表：
藥物效果試驗列聯(lián)表

	患病	未患病	總計
服用藥	10	45	55
沒服用藥	20	30	50
總計	30	75	105

（1）能否以97.5%的把握認(rèn)為藥物有效？為什么？
（2）從上述30只患病動物中隨機抽取3只作進一步的病理試驗，求抽取的3只動物中服藥動物數(shù)量ξ的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）．
參考公式與數(shù)據(jù)：k=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

Answer 1

考點：獨立性檢驗的應(yīng)用

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用k=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，再與臨界值比較可得結(jié)論；
（2）ξ服從超幾何分布ξ，確定ξ的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求出抽取的3只動物中服藥動物數(shù)量ξ的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）．

解答： 解：（1）k=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=

105×(10×30-20×45)2

55×50×30×75

≈6.1＞5.024…（3分）
所以，能以97.5%的把握認(rèn)為藥物有效…（4分）
（2）ξ服從超幾何分布…（5分）
其中N=30，M=10，n=3，ξ=0，1，2，3…（6分）
所以P(ξ=0)=

C 0 10 • C 3 20

C 3 30

=

57

203

，P(ξ=1)=

C 1 10 • C 2 20

C 3 30

=

95

203

，
P(ξ=2)=

C 2 10 • C 1 20

C 3 30

=

45

203

，P(ξ=3)=

C 3 10 • C 0 20

C 3 30

=

6

203

…（10分）
分布列為

ξ	0	1	2	3
P	57 203	95 203	45 203	6 203

…（11分）ξ的均值（即數(shù)學(xué)期望）Eξ=0×

57

203

+1×

95

203

+2×

45

203

+3×

6

203

=1…（12分）

點評：本題的考點是獨立性檢驗的應(yīng)用、考查超幾何分布，考查分布列及其均值，屬于中檔題．