Question

已知數(shù)列{b_n}中，b1+2b2+…+2n-1bn=2n2+n．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件，當(dāng)n≥2時分別取n和n-1，得到兩個表達(dá)式，再把這兩個表達(dá)式作差相減，能夠求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由{b_n}的通項(xiàng)公式，利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵b1+2b2+…+2n-1bn=2n2+n，
∴當(dāng)n≥2時，
b1+2b2+…+2n-1bn=2n2+n…①
b1+2b2+…+2n-2bn-1=2(n-1)2+n-1…②
①-②得：2^n-1b_n=4n-1
∴bn=

4n-1

2n-1

(n≥2)…（4分）
當(dāng)n=1時，b₁=3，滿足上式
故bn=

4n-1

2n-1

．…（6分）
（Ⅱ）∵bn=

4n-1

2n-1

，
∴S_n=3+7×

1

2

+…+（4n-1）×(

1

2

)n-1，…③

1

2

Sn=3×

1

2

+7×（

1

2

）²+…+（4n-5）×(

1

2

)n-1+（4n-1）×(

1

2

)n，…④
兩式相減，得

1

2

Sn=3+4[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]-（4n-1）•(

1

2

)n．
∴S_n=14-

4n+7

2n-1

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意迭代法和錯位相減求和法的合理運(yùn)用．