Question

已知數(shù)列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，a₁=3，a₃=9，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求和S_n=

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件，能推導(dǎo)出{log₂（a_n-1）}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，從而得到log₂（a_n-1）=n，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，先求出

1

an+1-an

，由此利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式能求出S_n=

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，a₁=3，a₃=9，
∴l(xiāng)og₂（a₁-1）=log₂2=1，
log₂（a₃-1）=log₂8=3，
∴{log₂（a_n-1）}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴l(xiāng)og₂（a_n-1）=1+n-1=n，
∴an-1=2n，
∴an=2n+1．
（2）∵an=2n+1，
∴

1

an+1-an

=

1

2n+1-2n

=

1

2n

，
∴S_n=

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題．