Question

已知經(jīng)過點(diǎn)P（0，2），且與橢圓C：

x2

4

+

y2

2

=1相切的直線有兩條，分別為m，n．
（1）求直線m，n的方程；
（2）設(shè)直線m，n與橢圓C的兩切點(diǎn)分別為C、D（其中C在y軸左側(cè)，D在y軸右側(cè)），分別過C、D兩點(diǎn)作相應(yīng)切線的垂線l₁、l₂，且l₁∩l₂=A，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，求

F1A

•

F2A

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)直線方程為y=kx+2，代入橢圓C：

x2

4

+

y2

2

=1，消去y，利用△=0，即可求直線m，n的方程；
（2）求出l₁、l₂，分別為y=

2

x+3，y=-

2

x+3，可得A的坐標(biāo)，即可求

F1A

•

F2A

的值．

解答： 解：（1）設(shè)直線方程為y=kx+2，代入橢圓C：

x2

4

+

y2

2

=1，
消去y可得：（2+4k²）x²+16kx+8=0，
∴△=（16k）²-32（2+4k²）=0，
∴k=±

2

2

，
∴直線m，n的方程為y=±

2

2

x+2；
（2）由（1）知C（-

2

，1），D（

2

，1），則
l₁、l₂，分別為y=

2

x+3，y=-

2

x+3，
∵l₁∩l₂=A，
∴A（0，3），
∵F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0），
∴

F1A

•

F2A

=（

2

，3）•（-

2

，3）=7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．