Question

甲、乙、丙、丁四位同學(xué)報(bào)名參加A、B、C三所高校的自主招生考試，若每位同學(xué)只報(bào)名其中一所高校，且報(bào)名其中任一所高校是等可能的．
（1）求這四位同學(xué)中有人報(bào)名A的概率；
（2）求三所高校都有人報(bào)名的概率；
（3）求這四位同學(xué)報(bào)名高校的個(gè)數(shù)ξ的分布列與期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等可能事件的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用對(duì)立事件的概率計(jì)算公式結(jié)合排列組合知識(shí)能求出這四位同學(xué)中有人報(bào)名A的概率．
（2）利用古典概率計(jì)算公式結(jié)合排列組合知識(shí)能求出三所高校都有人報(bào)名的概率．
（3）由題設(shè)知這四位同學(xué)報(bào)名高校的個(gè)數(shù)ξ的可能取值為1，2，3，分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）這四位同學(xué)中有人報(bào)名A的概率：
p₁=1-

24

34

=

65

81

．
（2）三所高校都有人報(bào)名的概率：
p₂=

C 2 4 • A 3 3

34

=

36

81

．
（3）由題設(shè)知這四位同學(xué)報(bào)名高校的個(gè)數(shù)ξ的可能取值為1，2，3，
P（ξ=1）=

A 1 3

34

=

3

81

，
P（ξ=2）=

C 2 3 •( C 2 4 C 2 2 A 2 2 +C 3 4 C 1 1 ) •A 2 2

34

=

42

81

，
P（ξ=3）=

C 2 4 • A 3 3

34

=

36

81

．
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	3 81	42 81	36 81

Eξ=1×

3

81

+2×

42

81

+3×

36

81

=

195

81

=

65

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．