Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：令與雙曲線

x2

25

-

y2

4

=1相切的直線為x-y+b=0，則雙曲線上點(diǎn)到直線l：x-y-3=0的距離最短等價于切線到直線直線l：x-y-3=0的距離，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：令與雙曲線

x2

25

-

y2

4

=1相切的直線為x-y+b=0，
則雙曲線上點(diǎn)到直線l：x-y-3=0的距離最短等價于切線到直線直線l：x-y-3=0的距離，
聯(lián)立

x2 25 - y2 4 =1 x-y+b=0

，得21x²+50bx+25b²+100=0，
△=2500b²-84（25b²+100）=0，解得b²=21，
∴b=

21

（舍）或b=-

21

，
把y=x-

21

代入

x2

25

-

y2

4

=1，
解得x=

25 21

21

，y=

4 21

21

，
∴雙曲線

x2

25

-

y2

4

=1上的點(diǎn)（

25 21

21

，

4 21

21

）到直線x-y-3=0的距離最短，
最短距離為d=

|-3+ 21 |

2

=

42 -3 2

2

．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線上到直線的距離對短的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式的合理運(yùn)用．