Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax-1在x=-1處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a；
（2）當(dāng)x∈[-2，0]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，由f′（-1）=0即可得出結(jié)論；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-3ax-1在x=-1處取得極值．
∴f′（-1）=3×（-1）²-3a=0，
∴a=1；
（2）由（1）得f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，
∴由f′（x）=0解得x₁=-1，x₂=1．
∴f（x）在[-2，-1]上是單調(diào)遞增函數(shù)，在[-1，0]上是單調(diào)減函數(shù)，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得最大值f（-1）=1，
又f（-2）=-3，f（0）=-1，
∴函數(shù)f（x）在[-2，0]上的值域是[-3，1]．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值知識，屬中檔題．