Question

【題目】（題文）

等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D，E分別為AB，AC上的點(diǎn)，且滿足（如圖①），將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，連接A1B，A1C（如圖②）.

（1）求證：A1D⊥平面BCED；

（2）在線段BC上是否存在點(diǎn)P（不包括端點(diǎn)），使直線PA1與平面A1BD所成的角為60°？若存在，求出A1P的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在；A1P

【解析】

（1）計(jì)算，利用勾股定理可證A1D⊥DE，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出平面；

（2）建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的法向量，根據(jù)線面角列方程計(jì)算的值即可得出結(jié)論．

（1）證明：由題意可知A1D＝1，A1E＝2，∠DAE＝60°，

∴DE，

∴A1D2+DE2＝A1E2，∴A1D⊥DE，

∵二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，即平面A1DE⊥平面BDE，平面A1DE∩平面BDE＝DE，

∴A1D⊥平面BCED.

（2）由（1）可知DE⊥BD，

以D為原點(diǎn)，以DB，DE，DA1為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系D﹣xyz，如圖所示，

則D（0，0，0），B（2，0，0），A1（0，0，1），C（，，0），

則（，，0），（2，0，0），令（0＜λ＜1），

則（2λ，λ，0），即P（2λ，λ，0），

∴（2λ，λ，﹣1），

由（1）知（0，1，0）為平面A1BD的一個(gè)法向量，

則cos，

令，解得λ，即（，，﹣1），

∴A1P.

∴線段BC上存在點(diǎn)P使得直線PA1與平面A1BD所成的角為60°，且A1P.