Question

（1）已知二項式（x²+

1

2 x

）ⁿ（n∈N^*）展開式中，前三項的二項式系數(shù)和為56，求展開式中的常數(shù)項；
（2）（1-2x）²⁰¹⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴（x∈R）
①求

a1

2

+

a2

22

+

a3

23

+…+

a2014

22014

的值；
②求a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+2014a₂₀₁₄的值．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質

專題：二項式定理

分析：（1）由題意可得

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=56，求得n的值，在二項式的展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開式中的常數(shù)項的值．
（2）①在所給的等式中，令x=0可得a₀=1．再令x=

1

2

，可得a₀+

a1

2

+

a2

22

+

a3

23

+…+

a2014

22014

的值，從而求得

a1

2

+

a2

22

+

a3

23

+…+

a2014

22014

 的值．
②把所給的等式兩邊同時對x求導數(shù)，再令x=1可得a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+2014a₂₀₁₄的值．

解答： （1）解：由題意可得

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=1+n+

n(n-1)

2

=56，求得 n=10，
故二項式（x²+

1

2 x

）¹⁰展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r 10

•2^-r•x20-

5r

2

，
令20-

5r

2

=0，求得 r=8，故展開式中的常數(shù)項為

C

8 10

•2^-8=

45

256

．
（2）解：①∵（1-2x）²⁰¹⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴（x∈R），令x=0可得a₀=1．
∴令x=

1

2

，可得 a₀+

a1

2

+

a2

22

+

a3

23

+…+

a2014

22014

=0，故有

a1

2

+

a2

22

+

a3

23

+…+

a2014

22014

=-1．
②由（1-2x）²⁰¹⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴（x∈R），
可得2014•（-2）•（1-2x）²⁰¹³ =a₁+2a₂x+…+2014a₂₀₁₄x²⁰¹³（x∈R），
再令x=1可得 a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+2014a₂₀₁₄=4028．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，給變量賦值的問題，屬于基礎題．