Question

如圖，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，△PAC為等邊三角形，PE∥CB，M，N分別是線段AE，AP上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足：

AM

AE

=

AN

AP

=λ（0＜λ＜1）．
（Ⅰ） 求證：MN∥平面ABC；
（Ⅱ） 當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，求平面ABC與平面MNC所成的銳二面角的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由

AM

AE

=

AN

AP

=λ，得MN∥PE，由線面平行的判定定理，所以MN∥平面ABC．     
（Ⅱ）由（Ⅰ）知MN∥BC，故C、B、M、N共面，平面ABC與平面MNC所成的銳二面角即N-CB-A，λ=

1

2

，所以N是PC的中點(diǎn)，即可求出平面ABC與平面MNC所成的銳二面角的大�。�

解答： （Ⅰ） 證明：由

AM

AE

=

AN

AP

=λ，得MN∥PE，
又依題意PE∥BC，所以MN∥BC．
因?yàn)镸N?平面ABC，BC?平面ABC，
所以MN∥平面ABC．     
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知MN∥BC，故C、B、M、N共面，平面ABC與平面MNC所成的銳二面角即N-CB-A．
因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，且CB⊥AC，
所以CB⊥平面PAC．故CB⊥CN，即知∠NCA為二面角N-CB-A的平面角．
因?yàn)?span id="j2hs0mp" class="MathJye">λ=

1

2

，所以N是PC的中點(diǎn)，
因?yàn)椤鱌AC為等邊三角形，
所以∠NCA=30°，即平面ABC與平面MNC所成的銳二面角為30°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，空間向量的應(yīng)用，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力．