【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓的右焦點(diǎn)為，且離心率，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線，直線與直線相交于點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明：點(diǎn)在一條定直線上；

（3）當(dāng)最大時(shí)，求的面積.

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）

【解析】

（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，進(jìn)而得到中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線方程，與直線方程聯(lián)立后可求得點(diǎn)坐標(biāo)，知點(diǎn)橫坐標(biāo)為定值，從而得到結(jié)論；

（3）利用直線和的斜率可結(jié)合兩角和差正切公式表示出，利用基本不等式可求得的最大值，由取等條件可得此時(shí)的值和點(diǎn)坐標(biāo)；利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式分別求得三角形的底和高，進(jìn)而得到所求面積.

（1）橢圓的右焦點(diǎn)為，.

又，，.

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）設(shè)，，中點(diǎn)，直線：，

聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得：，

，，

將代入直線的方程，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，直線的方程為.

直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且與直線垂直，直線的方程為.

解方程組得：，

點(diǎn)在定直線上.

（3）設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為.

由（2）可知：，.

.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最大值，此時(shí)最大.

此時(shí)直線方程為，點(diǎn)為.

由（2）可得：，，，

弦長(zhǎng)，到直線的距離，

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第條的相關(guān)規(guī)定：機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行道時(shí)，應(yīng)當(dāng)減速慢行；遇行人正在通過(guò)人行道，應(yīng)當(dāng)停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第條規(guī)定：對(duì)不禮讓行人的駕駛員處以扣分，罰款元的處罰.下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的個(gè)月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

月份

不“禮讓斑馬線”駕駛員人數(shù)

（1）請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求不“禮讓斑馬線”駕駛員人數(shù)與月份之間的回歸直線方程，并預(yù)測(cè)該路口月份的不“禮讓斑馬線”駕駛員人數(shù)；

（2）若從表中月份和月份的不“禮讓斑馬線”駕駛員中，采用分層抽樣方法抽取一個(gè)容量為的樣本，再?gòu)倪@人中任選人進(jìn)行交規(guī)調(diào)查，求抽到的兩人恰好來(lái)自同一月份的概率.

參考公式：，.

參考數(shù)據(jù)：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊上移動(dòng).

（Ⅰ）若F為中點(diǎn)，求證：平面；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）若二面角的余弦值等于，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別是，，，是其左右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為6，若面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線交橢圓于，兩個(gè)不同點(diǎn)，證明：直線與的交點(diǎn)在一條定直線上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，，.

（1）求二面角的大小；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】現(xiàn)拋擲兩枚骰子，記事件為“朝上的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件為“朝上的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某電子公司新開(kāi)發(fā)一電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個(gè)系統(tǒng)G有3個(gè)電子元件組成，各個(gè)電子元件能否正常工作的概率均為，且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立.若系統(tǒng)C中有超過(guò)一半的電子元件正常工作，則G可以正常工作，否則就需要維修，且維修所需費(fèi)用為500元.

(1)求系統(tǒng)不需要維修的概率；

(2)該電子產(chǎn)品共由3個(gè)系統(tǒng)G組成，設(shè)E為電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)所需的費(fèi)用，求的分布列與期望;

(3)為提高G系統(tǒng)正常工作概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個(gè)功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個(gè)新元件正常工作的概率均為，且新增元件后有超過(guò)一半的電子元件正常工作，則C可以正常工作，問(wèn):滿足什么條件時(shí)，可以提高整個(gè)G系統(tǒng)的正常工作概率?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ．

（1）若，求曲線在處切線的斜率；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若無(wú)窮數(shù)列滿足：，且對(duì)任意，(s，k，l，)都有，則稱數(shù)列為“T”數(shù)列.

（1）證明：正項(xiàng)無(wú)窮等差數(shù)列是“T”數(shù)列；

（2）記正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和為，若數(shù)列是“T”數(shù)列，求數(shù)列公比的取值范圍；

（3）若數(shù)列是“T”數(shù)列，且數(shù)列的前n項(xiàng)之和滿足，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.

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