Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

an

1+an

．
（1）求{a_n}；
（2）記數(shù)列{a_n}的前n項和為H_n．
（Ⅰ）當(dāng)n≥2時，求n•（H_n-H_n-1）；
（Ⅱ）證明：

1

1• H 2 1

+

1

2• H 2 2

+

1

3• H 2 3

+…+

1

n• H 2 n

＜2．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）取倒數(shù)，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可求{a_n}；
（2）（Ⅰ）直接代入計算，可得結(jié)論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)i≥2時，

1

i

=(Hi-Hi-1)＞0，再放縮，求和，即可證明結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a_n+1=

an

1+an

，
∴

1

an+1

=

1

an

+1，
∵a₁=1，∴an=

1

n

（2）（Ⅰ）當(dāng)n≥2時，Hn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，Hn-1=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，
∴n•（H_n-H_n-1）=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)i≥2時，

1

i

=(Hi-Hi-1)＞0，
∴

1

1• H 2 1

+

1

2• H 2 2

+

1

3• H 2 3

+…+

1

n• H 2 n

=

1

1

+(H2-H1)•

1

H 2 2

+(H3-H2)•

1

H 2 3

+…+(Hn-Hn-1)•

1

H 2 n

＜

1

1

+•

(H2-H1)

H   1 • H   2

+•

(H3-H2)

H   2 • H   3

+…+•

(Hn-Hn-1)

H   n-1 • H   n

=

1

1

+(

1

H   1

-

1

H   2

)++…+(

1

H   n-1

-

1

H   n

)=2-

1

H   n

＜2

點評：本題考查等差數(shù)列的判斷，考查數(shù)列與不等式的綜合，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．