Question

已知定義在R上的連續(xù)奇函數(shù)f（x）滿足f（x-2）=-f（x），且在[0，1]的最大值為2，有下列命題：
①f（x）的周期為4；
②f（x）的圖象關(guān)于直線x=2k+1（k∈Z）對(duì)稱； 
③f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2k，0）（k∈Z）對(duì)稱；
④f（x）在R上的最小值是2．
其中真命題為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用已知條件，周期、軸對(duì)稱、中心對(duì)稱的意義判斷前3 個(gè)命題都是正確的，對(duì)于第四個(gè)命題，由奇偶性知f（x）在[0，1]的最大值為2，得f（x）在[-1，0]的最小值-2，再由①②③正確得④正確．

解答： 解：由f（x-2）=-f（x）
得f（x-4）=f（x），所以函數(shù)f（x）的周期為4，故①正確
由f（4k+2-x）=f（2-x）=-f（x-2）=f（x），
所以f（x）的圖象關(guān)于直線x=2k+1（k∈Z）對(duì)稱，故②正確；
由f（4k-x）=f（-x）=-f（x）得f（4k-x）+f（x）=0，故正確③；
由f（x）在[0，1]的最大值為2，得f（x）在[-1，0]的最小值-2，又f（x-2）=-f（x），
所以f（x）在[-1，3]的最大值為2，最小值為-2．由①得f（x）在R上的最小值是2，故④正確．
故答案為：①②③④

點(diǎn)評(píng)：本題考察了抽象函數(shù)的性質(zhì)，性質(zhì)的解析式表示，掌握好數(shù)學(xué)表達(dá)式是解題關(guān)鍵．