Question

18．設(shè){a_n}是公比q大于1的等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=lna_2n+1，n=1，2，3，…，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由題意，a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．∴6a₂=a₁+3+a₃+4．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{2}}{q}+{a}_{2}+{a}_{2}q=7}\\{6{a}_{2}=\frac{{a}_{2}}{q}+{a}_{2}q+7}\end{array}\right.$，解得a₂=2．
代入$\frac{{a}_{2}}{q}$+a₂+a₂q=7，化簡得2q²-5q+2=0，解得q₁=2，q₂=$\frac{1}{2}$．
又公比q大于1，∴q=2，a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2^n-1．
（2）由于b_n=lna_2n+1=ln2²ⁿ=2nln2，
又b_n-b_n-1=2ln2（n≥2），
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∴T_n=$\frac{（_{1}+_{n}）}{2}$=（n+1）nln2．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．