Question

6．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F₁，若橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF₁相切于該線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{5}{9}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)線段PF₁的中點(diǎn)為M，另一個(gè)焦點(diǎn)F₂，利用OM是△FPF₂的中位線，以及橢圓的定義求出直角三角形OMF₁的三邊之長(zhǎng)，使用勾股定理求離心率．

解答 解：設(shè)線段PF₁的中點(diǎn)為M，另一個(gè)焦點(diǎn)F₂，
由題意知，OM=b，又OM是△FPF₁的中位線，
∴OM=$\frac{1}{2}$PF₂=b，PF₂=2b，由橢圓的定義知  PF₁=2a-PF₂=2a-2b，
又MF₁=$\frac{1}{2}$PF₁=$\frac{1}{2}$（2a-2b）=a-b，又OF₁=c，
直角三角形OMF₁中，由勾股定理得：（a-b）²+b²=c²，又a²-b²=c²，
可得2a=3b，故有4a²=9b²=9（a²-c²），由此可求得離心率 e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用離心率公式和橢圓的定義：橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2a．