Question

13．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E為棱CC₁的中點(diǎn)．
（1）求AD₁與DB所成角的大��；
（2）求AE與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，可求$\overrightarrow{DB}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{{D}_{1}A}$=（2，0，-2），利用向量的夾角公式即可求解．
（2）求坐標(biāo)$\overrightarrow{AE}$=（-2，2，1）．又$\overrightarrow{DD}$₁=（0，0，2）是平面ABCD的一個法向量，即可利用向量的夾角公式求解．

解答 解：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），D₁（0，0，2）．
則$\overrightarrow{DB}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{{D}_{1}A}$=（2，0，-2）．
故：cos（$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{{D}_{1}A}$）=$\frac{\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{{D}_{1}A}}{|\overrightarrow{DB}|•|\overrightarrow{{D}_{1}A}|}$=$\frac{4}{2\sqrt{2}•2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$．
所以AD₁與DB所成角的大小為60°．
（2）易得E（0，2，1），所以$\overrightarrow{AE}$=（-2，2，1）．
又$\overrightarrow{DD}$₁=（0，0，2）是平面ABCD的一個法向量，且
cos（$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{D{D}_{1}}$）=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{D{D}_{1}}}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{D{D}_{1}}|}$=$\frac{2}{2×3}=\frac{1}{3}$．
所以AE與平面ABCD所成角的正弦值為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與平面所成的角、異面直線及其所成的角的求法，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．