Question

以下四個關于圓錐曲線的命題中：
①設A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|

PA

|-|

PB

|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②過定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），則動點P的軌跡為圓；
③設θ是△ABC的一內角，且sinθ+cosθ=

7

13

，則x²sinθ-y²cosθ=1表示焦點在x軸上的雙曲線
④已知兩定點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）和一動點P，若|PF₁|•|PF₂|=a²（a≠0），則點P的軌跡關于原點對稱；
其中真命題的序號為

 

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：①若動點P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離；
②用代入法求得P的軌跡方程，即可判斷；
③判斷θ為鈍角，cosθ＜0，從而判斷方程所表示的曲線；
④利用兩點間的距離公式，化簡整理可得結論．

解答： 解：①不正確．若動點P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離．當|k|大于A、B為兩個定點間的距離時動點P的軌跡不是雙曲線．
②∵

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），∴P為弦AB的中點，不妨在單位圓x²+y²=1中，定點A（1，0），動點B（x₁，y₁），設P（x，y），用代入法求得P的軌跡方程是(x-

1

2

)2+y2=

1

4

，∴點P的軌跡為圓，∴②正確；
③∵θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=

7

13

，∴θ∈（

π

2

，π），且|sinθ|＞|cosθ|，∴θ∈（

π

2

，

3π

4

），從而cosθ＜0，∴x²sinθ-y²cosθ=1表示焦點在y軸上的橢圓，∴③不正確；
④|PF₁|•|PF₂|=

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²，設P（x，y）為曲線

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）上任意一點，則P（x，y）關于原點（0，0）的對稱點為P′（-x，-y）也在曲線

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）上，∴點P的軌跡曲線

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）關于原點對稱，即④正確．
故答案為：②④．

點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征，同時考查了橢圓與雙曲線的性質，考查的知識點較多，屬于中檔題．