Question

已知拋物線C：y=x²，直線l：x-2y-2=0，點(diǎn)P是直線l上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，直線PM，PN斜率分別為k₁，k₂，如圖所示．
（1）若P（4，1），求證：k₁+k₂=16；
（2）當(dāng)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)過(guò)P的切線方程為：y-1=k（x-4），代入拋物線C得：x²-kx+4k-1=0，由△=0，能證明k₁+k₂=16．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），x₀-2y₀=2，切點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）對(duì)y=x²求導(dǎo)數(shù)，推導(dǎo)出直線PM：y-y₁=2x₁（x-x₁），直線PN：y-y₂=2x₂（x-x₂），由此能證明MN過(guò)定點(diǎn)(

1

4

， 1)．

解答： （1）證明：設(shè)過(guò)P的切線方程為：y-1=k（x-4），
代入拋物線C，消去y得：x²-kx+4k-1=0，
由△=k²-4（4k-1）=0，
∴k²-16k+4=0，
∵該方程的兩個(gè)根為直線PM，PN斜率k₁，k₂，
∴k₁+k₂=16．（5分）
（2）證明：設(shè)P（x₀，y₀），x₀-2y₀=2，切點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
對(duì)y=x²求導(dǎo)數(shù)，y'=2x，
∴k₁=2x₁，k₂=2x₂
∴直線PM：y-y₁=2x₁（x-x₁），直線PN：y-y₂=2x₂（x-x₂），
∵y1=

x

2 1

，y2=

x

2 2

，
∴直線PM：y=2x₁x-y₁，直線PN：y=2x₂x-y₂，
∵直線PM，PN都過(guò)點(diǎn)P，∴2x₀x₁-y₁=y₀，2x₀x₂-y₂=y₀，
這說(shuō)明M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）滿足直線2x₀x-y=y₀的方程，
∴直線MN為：2x₀x-y=y₀，∵x₀-2y₀=2，
∴MN為：4x0(x-

1

4

)=2(y-1)，x₀∈R，即MN過(guò)定點(diǎn)(

1

4

， 1)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩直線的斜率之和為16的證明，考查直線過(guò)定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．