Question

已知F₁、F₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，且離心率e=

1

2

，若點(diǎn)P為橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|PF₁|•|PF₂|的最大值為4．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過右焦點(diǎn)F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0），使得以PM、PN為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出|PF₁|•|PF₂|≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=a²=4，且

c

a

=

1

2

，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₂（1，0），l：y=k（x-1），聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出存在滿足題意的點(diǎn)P，且m的取值范圍是（0，

1

4

）．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，
∵F₁、F₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，
點(diǎn)P為橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|PF₁|•|PF₂|的最大值為4，
∴|PF₁|•|PF₂|≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=a²=4，
當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|時(shí)取等號(hào)，
∵離心率e=

1

2

，∴

c

a

=

1

2

，解得c=1，b=

3

，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₂（1，0），l：y=k（x-1），
聯(lián)立，得

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，
整理，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∵直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，
∴△=64k²-4（3+4k²）（4k²-12）＞0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），

PM

+

PN

=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），
∵菱形的對(duì)角線互相垂直，∴（

PM

+

PN

）•

MN

=0，（*）
∴（x₂-x₁）[x₁+x₂-2m+k（y₁+y₂）]=0，
∴k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，
∴k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，
∴k²•（

8k2

3+4k2

-2）+

8k2

3+4k2

-2m=0，
由題意得k≠0，且k∈R，
∴m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，
∴0＜m＜

1

4

，
∴存在滿足題意的點(diǎn)P，且m的取值范圍是（0，

1

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．