Question

15．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為a，M、N、P、Q分別在棱A₁D₁、A₁B₁、B₁C₁、BC上移動(dòng)，則四面體MNPQ的最大體積是$\frac{1}{6}$a³．

Answer 1

分析 以MNP為底面，Q為頂點(diǎn)，則：四面體MNPQ的體積V=$\frac{1}{3}$hS，其中：h是Q點(diǎn)到底面的距離，是定值，h=a，于是，要使得V最大，等價(jià)于使得底面△MNP的面積S最大．

解答 解：以MNP為底面，Q為頂點(diǎn)，則：四面體MNPQ的體積V=$\frac{1}{3}$hS
其中：h是Q點(diǎn)到底面的距離，是定值，h=a，
于是，要使得V最大，等價(jià)于使得底面△MNP的面積S最大．
設(shè)A₁M=x，A₁N=y，B₁P=z，（0≤x，y，z≤a）則：
S=S_正方形-${S}_{△{A}_{1}MN}$-${S}_{△{B}_{1}NP}$-${S}_{梯形{C}_{1}{D}_{1}MP}$
=a²-$\frac{1}{2}$xy-$\frac{1}{2}$（a-y）z-$\frac{1}{2}$a（a-x+a-z）
=a²-$\frac{1}{2}$xy-$\frac{1}{2}$（a-y）z-a²+$\frac{1}{2}$a（x+z）
=$\frac{1}{2}$（ax-xy+yz）
≤$\frac{1}{2}$[x（a-y）+ya]
≤$\frac{1}{2}$[a（a-y）+ya]
=$\frac{1}{2}$a²
即：S的最大值=$\frac{1}{2}$a²（此時(shí)，x=z=a，b可隨意）
故：四面體MNPQ的體積V的最大值=$\frac{1}{3}$aS=$\frac{1}{6}$a³，
故答案為：$\frac{1}{6}$a³．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四面體MNPQ的體積V的最大值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，要使得V最大，等價(jià)于使得底面△MNP的面積S最大是關(guān)鍵．