Question

7．求y=2x+1+2$\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}$的值域．

Answer 1

分析 先求函數(shù)的定義域，然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究是的單調(diào)性和極值，利用函數(shù)極值和值域之間的關(guān)系機(jī)進(jìn)行求解即可．

解答 解：由-x²+2x+3≥0得x²-2x-3≤0得-1≤x≤3，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2+2×$\frac{1}{2}•$$\frac{-2x+2}{\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}}$=2+$\frac{-2x+2}{\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}}$，
由f′（x）=0得2+$\frac{-2x+2}{\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}}$=0，即x-1=$\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}$，
平方得x²-2x+1=-x²+2x+3，
即x²-2x-1=0，解得x=1+$\sqrt{2}$，
即當(dāng)-1≤x＜1+$\sqrt{2}$時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)遞增，
當(dāng)1+$\sqrt{2}$＜x≤3時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)遞減，
即當(dāng)x=1+$\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)取得極大值，同時(shí)也是最大值，此時(shí)f（1+$\sqrt{2}$）=3+4$\sqrt{2}$，
∵f（-1）=-2+1=-1，f（3）=6+1=7，
∴函數(shù)的最小值為-1，
故函數(shù)的值域?yàn)閇-1，3+4$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的值域的求解，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的極值和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．