Question

6．已知拋物線y²=4x的焦點為F，過點（a，0）（a＜0）傾斜角為$\frac{π}{6}$的直線l交拋物線C、D兩點．若F在以線段CD為直徑的圓的外部，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （-3，-2$\sqrt{5}$+3）
• B． （-∞，-2$\sqrt{5}$+3）
• C． （-$\frac{1}{2}$，4-$\sqrt{17}$）
• D． （-∞，4-$\sqrt{17}$）

Answer 1

分析 設直線l的方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理及F在以線段CD為直徑的圓的外部，建立不等式，即可確定a的取值范圍．

解答 解：設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∵F在以線段CD為直徑的圓的外部，
∴$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}$＞0，
∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＞0，
于是（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=4x₁x₂-（a+3）（x₁+x₂）+3+a²＞0
設l的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-a），
代入拋物線方程，得x²-（2a+12）x+a²=0，
∴x₁+x₂=2a+12，x₁x₂=a²，
∴4x₁x₂-（a+3）（x₁+x₂）+3+a²=3a²-18a-33＞0，
故a＞2$\sqrt{5}$+3或a＜-2$\sqrt{5}$+3，
又△=（2a+12）²-4a²＞0，得到a＞-3．
∴-3＜a＜-2$\sqrt{5}$+3．
故選：A．

點評 本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，正確運用韋達定理是關鍵．