Question

10．已知斜率為-1的直線l與圓C：x²+y²=4交于M，N不同的兩點，
（1）求直線l在x軸上的截距的取值范圍：
（2）若弦MN的中點為P，點P的軌跡方程為C′，將圓C：x²+y²=4先向上平移1個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到圓C″，求C′在C″內(nèi)的長度．

Answer 1

分析 （1）設(shè)斜率為-1的直線l的方程為y=-x+b，即x+y-b=0，圓心到直線的距離d=$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$＜2，可得直線l在x軸上的截距的取值范圍：
（2）若弦MN的中點為P，點P的軌跡C′方程為y=x，求出圓C″：（x-1）²+（y-1）²=4，可得圓心（1，1）在直線y=x上，即可求出C′在C″內(nèi)的長度．

解答 解：（1）設(shè)斜率為-1的直線l的方程為y=-x+b，即x+y-b=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$＜2，
∴-2$\sqrt{2}$＜b＜2$\sqrt{2}$；
（2）若弦MN的中點為P，點P的軌跡C′方程為y=x，
將圓C：x²+y²=4先向上平移1個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到圓C″：（x-1）²+（y-1）²=4，
圓心（1，1）在直線y=x上，
∴C′在C″內(nèi)的長度為4．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的方程，考查點到直線距離公式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．