Question

如圖，已知三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是正三角形，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，D是BC的中點(diǎn)，AA₁=AB=1．
（1）求證：平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）求證：A₁C∥平面AB₁D．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）依題意，易證AD⊥平面BCC₁B₁，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證；
（2）取C₁B₁的中點(diǎn)E，連接A₁E，ED，易證平面A₁EC∥平面AB₁D，利用面面平行的性質(zhì)即可證得A₁C∥平面AB₁D．

解答： 證明：（1）∵ABC-A₁B₁C₁為三棱柱，D是BC中點(diǎn)，AA₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴AA₁⊥AD；
又AA₁∥BB₁，
∴AD⊥BB₁；
又底面ABC為正三角形，D是BC中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，而BC∩BB₁=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵B₁D?平面AB₁D
∴平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2））取C₁B₁的中點(diǎn)E，連接A₁E，ED，

則B₁E∥DC，B₁E=DC
∴四邊形B₁DCE為平行四邊形，于是有B₁D∥EC，又A₁E∥AD，B₁D∩AD=D，A₁E∩EC=E，
∴平面A₁EC∥平面AB₁D，A₁C?平面A₁EC，
∴A₁C∥平面AB₁D．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，考查面面平行的性質(zhì)，（2）中證得平面A₁EC₁∥平面AB₁D是關(guān)鍵，考查作圖、推理與證明的邏輯思維能力，屬于中檔題．