Question

若方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1所表示的曲線為C，給出下列四個(gè)命題：
①若C為橢圓，則1＜t＜4，且t≠

5

2

；
②若C為雙曲線，則t＞4或t＜1；
③曲線C不可能是圓；
④若C表示橢圓，且長軸在x軸上，則1＜t＜

3

2

．
其中正確的命題是

 

．（把所有正確命題的序號(hào)都填在橫線上）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)，對(duì)①②③④四個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．

解答： 解：①若C為橢圓，則

4-t＞0 t-1＞0 4-t≠t-1

，解得1＜t＜4，且t≠

5

2

，故①正確；
②若C為雙曲線，則（4-t）（t-1）＜0，即（t-4）（t-1）＞0，解得t＞4或t＜1，故②正確；
③若

4-t＞0 t-1＞0 4-t=t-1

，即t=

5

2

時(shí)，曲線C是圓，故③錯(cuò)誤；
④若C表示橢圓，且長軸在x軸上，則4-t＞t-1＞0，解得1＜t＜

5

2

，故④錯(cuò)誤；
綜上所述，正確的命題是①②，
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．