Question

函數(shù)f（x）=x+

4

x

．
（1）證明f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，并求f（x）在[

1

2

，1]上的最值．
（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論．
（3）函數(shù)f（x）=x+

4

x

（x＜0）有最值嗎？如有求出最值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可證明f（x）遞減；由單調(diào)性可得f（x）在[

1

2

，1]上的最值；
（2）利用函數(shù)奇偶性的定義可作出判斷；
（3）利用導(dǎo)數(shù)可求得x＜0時(shí)函數(shù)的最值；

解答： （1）證明：∵f（x）=x+

4

x

，∴f'（x）=1-

4

x2

，
又x∈（0，2），∴

4

x2

＞1，f'（x）＜0，
故f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減；
∵f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，∴f（x）在[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，
∴f（x）的最大值為f（

1

2

）=

1

2

+

4

1 2

=

17

2

，最小值為f（1）=1+

4

1

=5；
（2）解：f（x）為定義域內(nèi)的奇函數(shù)，證明如下：
f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
又f（-x）=-x-

4

x

=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；
（3）解：f'（x）=1-

4

x2

=

(x+2)(x-2)

x2

，
當(dāng)x＜-2時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
∴f（x）在x=-2時(shí)取得極大值，也為最大值，f（-2）=-2+

4

-2

=-4，
故x＜0時(shí)，f（x）取得最大值為-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，屬中檔題，熟練掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解題關(guān)鍵．